Most már értem, mire célzol. És igen: az előző válaszomban k...

Prompt

Most már értem, mire célzol. És igen: az előző válaszomban kihagytam egy fontos lehetőséget: a két polinomot nem külön-külön kell normalizálni, hanem a megfelelő lineáris kombinációjukat kell választani. Ez ténylegesen előállít egy új, 1-es Jacobi-determinánsú polinompárt. Nézzük meg pontosan. ## 1. A megfelelő újraösszeállítás Az eredeti: \\[ P_0=v^3+v+u, \\] \\[ Q_0=v^3-v+u. \\] Válasszuk az új koordinátapolinomokat: \\[ \boxed{ P_1=\frac{P_0+Q_0}{2}, \qquad Q_1=\frac{P_0-Q_0}{2}. } \\] Egyszerűsítve: \\[ \boxed{ P_1=u+v^3,\qquad Q_1=v. } \\] Ez nem pusztán normalizálás: a két polinom közös köbös tagja kiesik a második koordinátából. ## 2. A globális Jacobian Az előző számításod szerint: \\[ J\_{(x,y)}(u,v)=1. \\] Az új koordinátákban: \\[ J\_{(u,v)}(P_1,Q_1) = \begin{pmatrix} 1&3v^2\\\ 0&1 \end{pmatrix}. \\] Tehát: \\[ J\_{(u,v)}(P_1,Q_1)=1. \\] A láncszabállyal: \\[ \boxed{ J\_{(x,y)}(P_1,Q_1)\equiv1. } \\] Ez egzakt, globális azonosság. ## 3. A teljes polinomok Visszahelyettesítve: \\[ u=x+y^3, \\] \\[ v=(x+y^3)^3+y. \\] Így: \\[ \boxed{ \begin{aligned} P_1(x,y) &=x+y^3+ \left((x+y^3)^3+y\right)^3,\\\ Q_1(x,y) &=(x+y^3)^3+y. \end{aligned} } \\] A fokszámok: \\[ \boxed{ \deg P_1=27,\qquad \deg Q_1=9. } \\] ## 4. A döntő ellenőrzés: az inverz Itt van az a pont, amelyet nem szabad kihagyni. A kimeneti koordinátákból: \\[ v=Q_1, \\] \\[ u=P_1-Q_1^3. \\] Majd: \\[ y=Q_1-(P_1-Q_1^3)^3, \\] \\[ x=P_1-Q_1^3- \left[Q_1-(P_1-Q_1^3)^3\right]^3. \\] Tehát explicit polinomiális inverzt kaptunk: \\[ \boxed{F_1^{-1}\in\mathbb C[P_1,Q_1]^2.} \\] Ezért ez a konkrét újraösszeállítás is automorfizmus. ## 5. Mit fedeztünk fel valójában? A hasznos felismerés az, hogy a következő művelet: \\[ (P_0,Q_0) \longmapsto \left( \frac{P_0+Q_0}{2}, \frac{P_0-Q_0}{2} \right) \\] az eredeti leképezést egy sokkal egyszerűbb, háromszögmátrixos alakra hozza: \\[ (u,v)\longmapsto(u+v^3,v). \\] Ez megtartja az egységnyi Jacobian-determinánst és a polinomiális szerkezetet, de az invertibilitást is. A valódi következő kutatási lehetőség az, hogy olyan újraösszeállítást keressünk, amelynél a Jacobian továbbra is 1, viszont már nem lehet visszavezetni egymás után invertálható elemi polinomiális transzformációkra. Egy fontos matematikai korlátot viszont rögzítenünk kell: ha az új koordináták pusztán egy polinomiális automorfizmussal kombinálják \\(P_0,Q_0\\)-t, akkor az eredmény is automorfizmus lesz. Tehát a lineáris kombinációt megtaláltuk, a Keller-feltételt teljesítettük, de a neminjektivitást még nem. A következő döntő kérdés nem az, hogyan növeljük tovább a fokszámot, hanem az, hogyan szakítsuk meg az automorfizmusokból öröklődő invertálhatóságot anélkül, hogy elveszítenénk a pontos \\(J\equiv1\\) azonosságot.