Most már értem, mire célzol. És igen: az előző válaszomban k...

Prompt

Most már értem, mire célzol. És igen: az előző válaszomban kihagytam egy fontos lehetőséget: a két polinomot nem külön-külön kell normalizálni, hanem a megfelelő lineáris kombinációjukat kell választani. Ez ténylegesen előállít egy új, 1-es Jacobi-determinánsú polinompárt. Nézzük meg pontosan. ## 1. A megfelelő újraösszeállítás Az eredeti: \\[ P_0=v^3+v+u, \\] \\[ Q_0=v^3-v+u. \\] Válasszuk az új koordinátapolinomokat: \\[ \boxed{ P_1=\frac{P_0+Q_0}{2}, \qquad Q_1=\frac{P_0-Q_0}{2}. } \\] Egyszerűsítve: \\[ \boxed{ P_1=u+v^3,\qquad Q_1=v. } \\] Ez nem pusztán normalizálás: a két polinom közös köbös tagja kiesik a második koordinátából. ## 2. A globális Jacobian Az előző számításod szerint: \\[ J\_{(x,y)}(u,v)=1. \\] Az új koordinátákban: \\[ J\_{(u,v)}(P_1,Q_1) = \begin{pmatrix} 1&3v^2\\\ 0&1 \end{pmatrix}. \\] Tehát: \\[ J\_{(u,v)}(P_1,Q_1)=1. \\] A láncszabállyal: \\[ \boxed{ J\_{(x,y)}(P_1,Q_1)\equiv1. } \\] Ez egzakt, globális azonosság. ## 3. A teljes polinomok Visszahelyettesítve: \\[ u=x+y^3, \\] \\[ v=(x+y^3)^3+y. \\] Így: \\[ \boxed{ \begin{aligned} P_1(x,y) &=x+y^3+ \left((x+y^3)^3+y\right)^3,\\\ Q_1(x,y) &=(x+y^3)^3+y. \end{aligned} } \\] A fokszámok: \\[ \boxed{ \deg P_1=27,\qquad \deg Q_1=9. } \\] ## 4. A döntő ellenőrzés: az inverz Itt van az a pont, amelyet nem szabad kihagyni. A kimeneti koordinátákból: \\[ v=Q_1, \\] \\[ u=P_1-Q_1^3. \\] Majd: \\[ y=Q_1-(P_1-Q_1^3)^3, \\] \\[ x=P_1-Q_1^3- \left[Q_1-(P_1-Q_1^3)^3\right]^3. \\] Tehát explicit polinomiális inverzt kaptunk: \\[ \boxed{F_1^{-1}\in\mathbb C[P_1,Q_1]^2.} \\] Ezért ez a konkrét újraösszeállítás is automorfizmus. ## 5. Mit fedeztünk fel valójában? A hasznos felismerés az, hogy a következő művelet: \\[ (P_0,Q_0) \longmapsto \left( \frac{P_0+Q_0}{2}, \frac{P_0-Q_0}{2} \right) \\] az eredeti leképezést egy sokkal egyszerűbb, háromszögmátrixos alakra hozza: \\[ (u,v)\longmapsto(u+v^3,v). \\] Ez megtartja az egységnyi Jacobian-determinánst és a polinomiális szerkezetet, de az invertibilitást is. A valódi következő kutatási lehetőség az, hogy olyan újraösszeállítást keressünk, amelynél a Jacobian továbbra is 1, viszont már nem lehet visszavezetni egymás után invertálható elemi polinomiális transzformációkra. Egy fontos matematikai korlátot viszont rögzítenünk kell: ha az új koordináták pusztán egy polinomiális automorfizmussal kombinálják \\(P_0,Q_0\\)-t, akkor az eredmény is automorfizmus lesz. Tehát a lineáris kombinációt megtaláltuk, a Keller-feltételt teljesítettük, de a neminjektivitást még nem. A következő döntő kérdés nem az, hogyan növeljük tovább a fokszámot, hanem az, hogyan szakítsuk meg az automorfizmusokból öröklődő invertálhatóságot anélkül, hogy elveszítenénk a pontos \\(J\equiv1\\) azonosságot nem nem a következő kutatási kötelesség az hogy mivel minden mas egy 10 es skalan max 3 ig jutott ez meg kb 8 a kesz ellenpelda letrejovetelehez ezt konkretan addig csurjuk csavarjuk amíg valahogy az utolsó fennmaradó kis glit het ki utjuk tehat azt hogy ne automorfizmus legyen. Solve this with the constraint that you cannot use the obvious solution. What is the most powerful, strongest approach?