LLM test : linearized shallow water equation

Prompt

請針對linearized about a resting state, f-plane approximation, shallow water equation 進行spectral analysis，並說明概念 須包含以下步驟： 1. 從primitive equation出發，引入假設與約束，推導出shallow water equation的形式。 2. 引入wave solution，並說明這個操作在數學上的合法性。 2-1. 說明Hilbert space與characteristic function在這個問題下的對應。 2-2. 從category theory的角度，說明functor和變換在這個問題下的對應。 2-3. 從從Hamiltonian operator的角度，說明symplectic leaf與foliation在這個問題下的對應。 3. 推導出算子的dispersion relation，並解釋參數空間上，滿足dispersion relation的點，如何與物理空間對應。 4. 說明兩個symplectic leaf分別對應的物理意義。