\begin{exercise}[Fonctions conjuguées] Déterminer la fonctio...

Prompt

\begin{exercise}[Fonctions conjuguées] Déterminer la fonction conjuguée $f^*$ de chacune des fonctions suivantes. \begin{enumerate} \item[(a)] \textbf{Fonction maximum.} [ f(x)=\max\_{i=1,\ldots,n} x\_i, \qquad x\in\mathbb{R}^n. ] \item[(b)] \textbf{Somme des $r$ plus grandes composantes.} Soient [ x\_{[1]} \geq x\_{[2]} \geq \cdots \geq x\_{[n]} ] les composantes de $x$ rangées par ordre décroissant. On considère [ f(x)=\sum\_{i=1}^{r} x\_{[i]}, \qquad x\in\mathbb{R}^n. ] \item[(c)] \textbf{Fonction affine par morceaux.} [ f(x)=\max\_{i=1,\ldots,m}(a\_i x+b\_i), \qquad x\in\mathbb{R}. ] On suppose que [ a\_1\leq a\_2\leq\cdots\leq a\_m, ] et qu'aucune des fonctions affines $a\_i x+b\_i$ n'est redondante : pour tout $k$, il existe au moins un $x$ tel que [ f(x)=a\_kx+b\_k. ] \item[(d)] \textbf{Fonction puissance.} [ f(x)=x^p, \qquad x\in\mathbb{R}{++}, ] avec $p>1$. Refaire ensuite le calcul dans le cas [ p<0. ] \item[(e)] \textbf{Opposé de la moyenne géométrique.} [ f(x) = -\left(\prod{i=1}^{n}x\_i\right)^{1/n}, \qquad x\in\mathbb{R}\_{++}^n. ] \item[(f)] \textbf{Opposé du logarithme généralisé associé au cône du second ordre.} [ f(x,t) = -\log\left(t^2-x^Tx\right), ] avec [ \operatorname{dom} f = \left{ (x,t)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R} ;\middle|; |x|\_2\<t \right}. ] \end{enumerate} Pour chaque fonction, on cherche donc [ f^*(y) = \sup\_{x\in\operatorname{dom}f} \left(y^Tx-f(x)\right), ] avec une adaptation des variables duales dans le cas de la fonction $f(x,t)$. \end{exercise} Pour cet exo et dès qu’il faut calculer une conjuguer la technique que j’utilise est de tester plusieurs valeurs fixes de X pour voir s’il existe y tq ça tend vers inf sauf que c’est chiant de fou pcq faut trouver quel x choisir y’a pas une procédure plus automatique et plus simple ?En fait, il se trouve que ta procédure ne me convient pas vraiment. Parce que j'ai l'impression qu'elle permet pas de manière systématique et de manière détaillée et développée d'à chaque fois de réussir à chaque fois à calculer le conjugué. C'est-à-dire que moi ma méthode, bon, au moins elle est précise, elle est tangible. Toi, ça reste flou. Tu dis ce qu'il faut faire sans vraiment expliquer comment le faire. Tu vois, faut vraiment imaginer quelqu'un devant sa feuille, essayer de suivre la procédure pour réussir, quoi, sans hasard, sans rien. Parce que là, je trouve que tu laisses trop sous-entendre que voilà il faut trouver une direction, il faut trouver... Voilà, mais ok, mais comment tu trouves la direction ? Qu'est-ce que je dois faire concrètement, d'un point de vue vraiment concret même, le terme direction convient pas énormément. Parce que moi je m'en fous en soi de la rigueur, de machin. Moi tout ce que je veux, c'est réussir à calculer le conjugué de quelque manière que ce soit. Donc c'est pour ça que j'avais ma méthode avec le test manuel, parce que ça me convenait bien en soi, c'était facile à comprendre et voilà. Tandis que là, j'ai l'impression que t'as inutilement théorisé, surthéorisé la chose et ça la rend beaucoup moins tangible et ça me permet toujours pas de calculer le conjugué de manière fiable. Très important également, comprends bien que en fait ce que je dis, ça ne se limite pas du tout, du tout à cet exercice. C'est de manière générale. Là, c'est juste un exemple d'exercice, tu vois. Mais je m'en fous en fait de cet exercice en soi.