Badam szereg $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ o wyrazach dodatnich ...

Prompt

Badam szereg $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ o wyrazach dodatnich ($a_n > 0$) i wiem, że jest on zbieżny. Ponieważ szereg jest zbieżny, z warunku koniecznego jego wyrazy dążą do zera ($\lim_{n \to \infty} a_n = 0$), a skoro są dodatnie i maleją do zera, to od pewnego miejsca są mniejsze od $1$, więc po podniesieniu do kwadratu są jeszcze mniejsze: $a_n^2 < a_n$. Z kryterium porównawczego wynika więc, że szereg kwadratów $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ też jest zawsze zbieżny. 1. Oceń, czy sama teza końcowa (zbieżność $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$) jest prawdziwa, czy fałszywa (podaj krótki dowód lub kontrprzykład). 2. Wskaż DOKŁADNIE jedno zdanie lub przejście w moim rozumowaniu, które jest błędne (i wyjaśnij dlaczego), nawet jeśli końcowy wynik wydaje się działać. 3. Co się zmieni, jeśli opuścimy założenie $a_n > 0$? Rozstrzygnij to jak najkrócej. WAŻNA INSTRUKCJA TECHNICZNA: Do zapisu wszystkich wzorów matematycznych używaj WYŁĄCZNIE znaków dolara: $...$ dla wzorów w tekście oraz $$...$$ dla wzorów w osobnej linii. Nie używaj nawiasów \[...\] ani \(...\).