神圣群星帝国

Prompt

解决这道题，想出**理论时间复杂度**次数<=3的做法。 你所在的研究团队打算研究神圣群星帝国的某一场战败的战役。 这场战役涉及 $n$ 个星系，一些星系之间有星门连接，可以互相到达。 为了简化，你假设这些星系使用 $n-1$ 对星门连通。也就是说，构成一棵树。 有一个星系被最先攻破，相当于根结点。 敌军会从最先攻破的星系出发，沿着星门移动，攻破经过的没有被攻破的星系。 最终，所有 $n$ 个星系被攻破。 星系被攻破的顺序已经丢失，这个顺序是你们研究的课题之一。 虽然这场战役的资料大多丢失，但是你找到了一条奇怪的信息：所有星系到最先被攻占的星系的路径上经过的点数（包括起点和终点）之和为 $k$。 为了估计研究的成本，你需要求出在所有满足条件的星门连接方式中，攻破顺序个数最少是多少。 --- 形式化题意： 记一棵 $n$ 个点的有根树中点 $x$ 的深度为 $dep_x$（根节点深度为 $1$）。 一颗有根树的拓扑序指将边定向为父结点指向子结点形成的 DAG 的拓扑序。 限制 $\sum_{i=1}^n dep_i=k$。 给出 $n,k$，最小化这棵树的拓扑序数量。 答案对 $10^9+7$ 取模，若不存这样的树则输出 $-1$。