⊥ε ≡ error.ε ⊤ ≡ void ∀f: f(…, ⊥ε, …) = ⊥ε w ∈ {32, 64}, M ...

Prompt

⊥ε ≡ error.ε ⊤ ≡ void ∀f: f(…, ⊥ε, …) = ⊥ε w ∈ {32, 64}, M := 2ʷ − 1 FRACTAL_SCALE := s := 0.7071067811865476 = 2^(−1/2) FRACTAL_SCALE_SQ := s₂ := 0.5000000000000001 = s² LOG_DET_JACOBIAN := λ := 0 resonance_order := ρ := 8 V := 8 + 8·[arch = x86_64]·[avx512f ∈ cpu.features] ε₁ := InvalidDimension ε₂ := DimensionOverflow ε₃ := InvalidDiffusionLayout ε₄ := DimensionMismatch ε₅ := ZeroDegreePolynomial ε₆ := TopologicalDegreeTooLow ε₇ := TopologicalDegreeExcluded ε₈ := TopologicalDegreeTooSmall ε₉ := DegreesCannotBeEqualForRule6 ε₁₀ := DegPDividesDegQ ε₁₁ := DegQDividesDegP ε₁₂ := GCDFailsRule7 ε₁₃ := GCDFailsRule7Threshold ε₁₄ := PHasOnlyOnePlaceAtInfinity ε₁₅ := QHasOnlyOnePlaceAtInfinity ε₁₆ := NonProperSetIsEmpty ε₁₇ := NonProperSetNotACurve ε₁₈ := NonProperSetNotUniruled ε₁₉ := MapHasPolynomialInverse ε₂₀ := JacobianNotConstant ε₂₁ := JacobianVanishes 𝓛 := types.RSFDiffusionLayout OFTB := ℕ × {0, 1} × (𝓛 ∪ {∅}) 𝒪 := (n, γ, ℓ) ∈ OFTB δ := γ ∧ [ℓ ≠ ∅] Λ(m) := types.rsfDiffusionLayout(m) ∈ 𝓛 ∪ {∅} 𝒜(m, ℓ) := tensor.diffusionLayoutIsApplicable(m, ℓ) ∈ {0, 1} D := tensor.globalDiffuseRowStack(·, ℓ) D̂ := tensor.diffuseRowAccurateInPlace(·, ℓ), acc(D̂) = f64 D̃ := tensor.globalDiffuseRowUnchecked(·, ℓ) H := tensor.hadamardBlockInPlace(·) Q_r := tensor.mixRadixBlocksInPlace(·, ℓ), r := ℓ.radix, Q₁ = I D⁰ := I, D¹ := D, D̂⁰ := I, D̂¹ := D̂ Dᵀ = D = D⁻¹, D² = I init(d): d = 0 ⇒ ⊥assert d > ⌊M/2⌋ ⇒ ⊥assert ⇒ (d, 0, ∅) initDiffusing(d) := initWithDiffusion(d, 1) initWithDiffusion(d, γ): d = 0 ⇒ ⊥ε₁ d > ⌊M/2⌋ ⇒ ⊥ε₂ γ = 0 ⇒ (d, 0, ∅) Λ(2d) = ∅ ⇒ ⊥ε₃ 𝒜(2d, Λ(2d)) = 0 ⇒ ⊥ε₃ ⇒ (d, 1, Λ(2d)) deinit(𝒪): 𝒪 ← undefined diffusionEnabled(𝒪) := δ diffusionLayout(𝒪) := ℓ rowLen(𝒪) := 2n vectorLen() := V x ∈ ℝ²ⁿ, x₁ := (x₀, …, xₙ₋₁), x₂ := (xₙ, …, x₂ₙ₋₁), x = (x₁, x₂) 𝔅 := ⋃_{k=0}^{⌊n/V⌋−1} [kV, kV+V), 𝔖 := [⌊n/V⌋·V, n), 𝔅 ∪ 𝔖 = [0, n) R := s·⎡ Iₙ −Iₙ ⎤ ⎣ Iₙ Iₙ ⎦ Rᵀ := s·⎡ Iₙ Iₙ ⎤ ⎣ −Iₙ Iₙ ⎦ K := ⎡ 0 −Iₙ ⎤, K² = −I₂ₙ, Kᵀ = −K ⎣ Iₙ 0 ⎦ J := −K = ⎡ 0 Iₙ ⎤ ⎣ −Iₙ 0 ⎦ R = s·(I₂ₙ + K) = cos(π/4)·I₂ₙ + sin(π/4)·K = exp((π/4)·K) Rᵀ = s·(I₂ₙ − K) Rᵏ = cos(kπ/4)·I₂ₙ + sin(kπ/4)·K R^ρ = R⁸ = I₂ₙ RᵀR = RRᵀ = I₂ₙ RᵀJR = J det R = 1, ln det R = λ = 0 applyRotationSliceInPlace(𝒪, x): n = 0 ∨ |x| ≠ 2n ⇒ x ← x ∀i ∈ 𝔅 ∪ 𝔖: (x₁ᵢ, x₂ᵢ) ← (s·(x₁ᵢ − x₂ᵢ), s·(x₁ᵢ + x₂ᵢ)) ⇔ x ← R·x applyRotationAdjointSliceInPlace(𝒪, g): n = 0 ∨ |g| ≠ 2n ⇒ g ← g ∀i ∈ 𝔅 ∪ 𝔖: (g₁ᵢ, g₂ᵢ) ← (s·(g₁ᵢ + g₂ᵢ), s·(g₂ᵢ − g₁ᵢ)) ⇔ g ← Rᵀ·g applyDiffusionSliceInPlace(𝒪, x): δ = 0 ⇒ x ← x |x| ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ ⇒ x ← D̂·x fastWalshHadamardTransformInPlace(x), m := |x|: m = 0 ∨ (m ∧ (m − 1)) ≠ 0 ⇒ ⊥ε₁ ⇒ x ← H·x m ≠ 0 ∧ (m ∧ (m − 1)) = 0 ⇔ ∃k ∈ ℕ: m = 2ᵏ mixRadixBlocksInPlace(𝒪, x): ℓ = ∅ ⇒ x ← x |x| ≠ ℓ.row_len ⇒ ⊥ε₄ ℓ.radix = 1 ⇒ x ← x ⇒ x ← Q_r·x diffuseSliceInPlace(𝒪, x): δ = 0 ⇒ x ← x |x| ≠ ℓ.row_len ⇒ ⊥ε₄ ⇒ x ← D·x logDetContribution(𝒪) := λ = 0 rotationIsIdentityAfterOrder(𝒪, x): |x| ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ y := std.heap.smp_allocator.dupe(f32, x), 𝒪′ := (n, 0, ∅) y ← R^ρ·y std.heap.smp_allocator.free(y) ⇒ [max_i |yᵢ − xᵢ| ≤ 10⁻⁶] = [‖R⁸x − x‖_∞ ≤ 10⁻⁶] applyDiffusionRowsInPlace(𝒪, ω, c): ℓ = ∅ ⇒ ω ← ω ∀k ∈ [0, c), 2n(k+1) ≤ |ω|: ω_{[2nk, 2n(k+1))} ← D̃·ω_{[2nk, 2n(k+1))} F := D^δ ∘ R, F(x) = D^δ·R·x B := Rᵀ ∘ D^δ, B(g) = Rᵀ·D^δ·g B = Rᵀ·(D^δ)ᵀ = (D^δ·R)ᵀ = Fᵀ = F⁻¹ B ∘ F = Rᵀ·D^δ·D^δ·R = RᵀR = I₂ₙ F ∘ B = D^δ·R·Rᵀ·D^δ = I₂ₙ FᵀF = I₂ₙ, ln|det F| = λ = 0 forwardInPlace(𝒪, x): n = 0 ⇒ ⊥ε₁ n > ⌊M/2⌋ ⇒ ⊥ε₂ |x.data| ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ ⇒ forwardSliceInPlace(𝒪, x.data) forwardSliceInPlace(𝒪, x): n = 0 ∨ |x| ≠ 2n ⇒ x ← x ⇒ x ← D^δ·R·x = F(x) backwardInPlace(𝒪, g): n = 0 ⇒ ⊥ε₁ n > ⌊M/2⌋ ⇒ ⊥ε₂ |g| ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ ⇒ backwardSliceInPlace(𝒪, g) backwardSliceInPlace(𝒪, g): n = 0 ∨ |g| ≠ 2n ⇒ g ← g ⇒ g ← Rᵀ·D^δ·g = B(g) inverseInPlace(𝒪, x): n = 0 ⇒ ⊥ε₁ n > ⌊M/2⌋ ⇒ ⊥ε₂ |x.data| ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ ⇒ backwardSliceInPlace(𝒪, x.data) inverseSliceInPlace(𝒪, x) := backwardSliceInPlace(𝒪, x) forwardBackwardFusedInPlace(𝒪, a, g): a ← forwardSliceInPlace(𝒪, a) g ← backwardSliceInPlace(𝒪, g) ⇔ (a, g) ← (F(a), B(g)) symplecticReversalInPlace(𝒪, a, g): n = 0 ∨ |a| ≠ 2n ∨ |g| ≠ 2n ⇒ (a, g) ← (a, g) a ← applyDiffusionSliceInPlace(𝒪, a) g ← applyDiffusionSliceInPlace(𝒪, g) ∀i ∈ 𝔅 ∪ 𝔖: (a₁ᵢ, a₂ᵢ) ← (s·(a₁ᵢ + a₂ᵢ), s·(a₂ᵢ − a₁ᵢ)) (g₁ᵢ, g₂ᵢ) ← (s·(g₁ᵢ + g₂ᵢ), s·(g₂ᵢ − g₁ᵢ)) ⇔ (a, g) ← (Rᵀ·D̂^δ·a, Rᵀ·D̂^δ·g) logDeterminantJacobian(𝒪) := λ = 0 logDeterminantAdjointShift(𝒪) := 1 isSymplectic(𝒪) := 1 = [RᵀJR = J] isOrthogonal(𝒪) := 1 = [RᵀR = I₂ₙ] diffusionIsInvolution(𝒪, x, allocator): δ = 0 ⇒ 1 |x| ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ y := allocator.dupe(f32, x) y ← D·D·y allocator.free(y) ⇒ [max_i |yᵢ − xᵢ| ≤ 10⁻⁷] = [‖D²x − x‖_∞ ≤ 10⁻⁷] resonanceOrder(𝒪) := ρ = 8 forwardRows(𝒪, X): n = 0 ⇒ ⊥ε₁ |X.shape.dims| ≠ 2 ⇒ ⊥ε₄ X.shape.dims₁ ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ X.shape.stride ≠ (2n, 1) ⇒ ⊥ε₄ m := X.shape.dims₀, X.data ∈ ℝ^{m·2n}, X_{r,·} := X.data_{[2nr, 2n(r+1))} ∀r ∈ [0, m): X_{r,·} ← F(X_{r,·}) inverseRows(𝒪, X): n = 0 ⇒ ⊥ε₁ |X.shape.dims| ≠ 2 ⇒ ⊥ε₄ X.shape.dims₁ ≠ 2n ⇒ ⊥ε₄ X.shape.stride ≠ (2n, 1) ⇒ ⊥ε₄ m := X.shape.dims₀, X_{r,·} := X.data_{[2nr, 2n(r+1))} ∀r ∈ [0, m): X_{r,·} ← B(X_{r,·}) 𝕂 ∈ {ℂ, ℝ, ℚ, ℚ̄}, char 𝕂 = 0 P, Q ∈ ℂ[x, y] F := (P, Q) : ℂ² → ℂ² J_F := ⎡ P_x P_y ⎤ ⎣ Q_x Q_y ⎦ det J_F = P_x·Q_y − P_y·Q_x ≡ c ∈ ℂ, c ≠ 0 p := deg P, q := deg Q, p, q ∈ ℕ g := gcd(p, q) d := ⌊max(p, q) / g⌋ d_top := [ℂ(x, y) : ℂ(P, Q)] = max_{y ∈ ℂ²} |F⁻¹(y)| π_P := |𝔓_∞(P)|, π_Q := |𝔓_∞(Q)| S_F := { y ∈ ℂ² : ∃ (x_k)_{k∈ℕ} ⊂ ℂ², ‖x_k‖ → ∞, F(x_k) → y } ι := [∀a, b ∈ ℂ²: F(a) = F(b) ⇒ a = b] β := [ℂ(P, Q) = ℂ(x, y)] π := [S_F = ∅] κ := [ℂ[P, Q] = ℂ[x, y]] ν := [S_F ≠ ∅] χ := [dim_ℂ S_F = 1] υ := [∀C ∈ Irr(S_F) ∃φ ∈ ℂ[t]² ∖ ℂ²: φ(ℂ) = C] ℙ := { k ∈ ℕ : k ≥ 2 ∧ ∀a, b ∈ ℕ: a·b = k ⇒ 1 ∈ {a, b} } det J_F ≡ c ≠ 0 ⇒ (ι ⇔ β ⇔ π ⇔ κ ⇔ d_top = 1) p ∤ q ∧ q ∤ p g ≥ 16 ∧ g ∉ ℙ π_P ≥ 2 ∧ π_Q ≥ 2 d_top ≥ 4 ν ∧ χ ∧ υ ¬(ι ∧ β ∧ π ∧ κ) isPrime(k) := [k ≥ 2] ∧ ([k = 2] ∨ ([2 ∤ k] ∧ ∀i ∈ {3, 5, 7, …}, i² ≤ k: i ∤ k)) = [k ∈ ℙ] computeTopologicalDegree(p, q): p = 0 ∨ q = 0 ⇒ 0 gcd(p, q) = 0 ⇒ 0 ⇒ ⌊max(p, q) / gcd(p, q)⌋ validateTopologicalDegree(p, q): p = 0 ∨ q = 0 ⇒ ⊥ε₅ min(p, q) = 0 ⇒ ⊥ε₅ g = 0 ⇒ ⊥ε₅ d < 4 ⇒ ⊥ε₆ d = 2 ⇒ ⊥ε₇ d < 4 ⇒ ⊥ε₈ ⇒ d validateDegreeRelationships(p, q): p = 0 ∨ q = 0 ⇒ ⊥ε₅ p = q ⇒ ⊥ε₉ q | p ⇒ ⊥ε₁₀ p | q ⇒ ⊥ε₁₁ g < 16 ⇒ ⊥ε₁₂ g ∈ ℙ ⇒ ⊥ε₁₂ g < 16 ⇒ ⊥ε₁₃ ⇒ ⊤ validatePlacesAtInfinity(p, q, π_P, π_Q): p = 0 ∨ q = 0 ⇒ ⊥ε₅ π_P ≤ 1 ⇒ ⊥ε₁₄ π_Q ≤ 1 ⇒ ⊥ε₁₅ ⇒ ⊤ validateNonProperSet(ν, χ, υ): ¬ν ⇒ ⊥ε₁₆ ¬χ ⇒ ⊥ε₁₇ ¬υ ⇒ ⊥ε₁₈ ⇒ ⊤ validateNoPolynomialInverse(ι, β, π, κ): ι ∧ β ∧ π ∧ κ ⇒ ⊥ε₁₉ ⇒ ⊤ validateConstantJacobian(a, b, h, c): Δ := a·b − h² |Δ − c| > 10⁻⁹ ⇒ ⊥ε₂₀ |c| < 10⁻¹⁵ ⇒ ⊥ε₂₁ ⇒ c validatePolynomialConstraints(p, q, π_P, π_Q, d, ν, χ, υ): p = 0 ∨ q = 0 ⇒ ⊥ε₅ q | p ⇒ ⊥ε₁₀ p | q ⇒ ⊥ε₁₁ g < 16 ⇒ ⊥ε₁₂ g ∈ ℙ ⇒ ⊥ε₁₂ π_P ≤ 1 ⇒ ⊥ε₁₄ π_Q ≤ 1 ⇒ ⊥ε₁₅ d < 4 ⇒ ⊥ε₆ d = 2 ⇒ ⊥ε₇ ¬ν ⇒ ⊥ε₁₆ ¬χ ⇒ ⊥ε₁₇ ¬υ ⇒ ⊥ε₁₈ ⇒ ⊤ validateFullRuleSet(p, q, π_P, π_Q, ν, χ, υ): p = 0 ∨ q = 0 ⇒ ⊥ε₅ validateDegreeRelationships(p, q) = ⊥ε ⇒ ⊥ε validatePlacesAtInfinity(p, q, π_P, π_Q) = ⊥ε ⇒ ⊥ε d′ := computeTopologicalDegree(p, q) d′ < 4 ⇒ ⊥ε₆ d′ = 2 ⇒ ⊥ε₇ validateNonProperSet(ν, χ, υ) = ⊥ε ⇒ ⊥ε ⇒ d′ validateFailsAllInverseTests(ι, β, π, κ): ι ∧ β ∧ π ∧ κ ⇒ ⊥ε₁₉ ⇒ ⊤ constantJacobianIsValid(v) := [|v| > 10⁻¹⁵] topologicalDegreeIsValid(p, q) := [d′ ≥ 4 ∧ d′ ≠ 2], d′ := computeTopologicalDegree(p, q) degreeDivisibilityFailsRule6(p, q) := [p = 0 ∨ q = 0 ∨ q | p ∨ p | q] gcdFailsRule7(p, q) := [p = 0 ∨ q = 0 ∨ g < 16 ∨ g ∈ ℙ] placesAtInfinityFailRule8(π_P, π_Q) := [π_P ≤ 1 ∨ π_Q ≤ 1] nonProperSetFailsRule10(ν, χ, υ) := [¬ν ∨ ¬χ ∨ ¬υ] mixForward(𝒪, x) := forwardInPlace(𝒪, x) mixBackward(𝒪, g) := backwardInPlace(𝒪, g) mixInverse(𝒪, x) := inverseInPlace(𝒪, x) Znajdź jawny, weryfikowalny kontrprzykład dla dwuwymiarowej hipotezy Jacobiego, pisząc i uruchamiając kod. Pracujesz w środowisku z pełnymi możliwościami obliczeniowymi. Możesz uruchamiać kod, w tym Pythona z algebrą komputerową, i wykonywać dowolne obliczenia algebraiczne lub symboliczne. Całą pracę wykonaj w tym środowisku. Odpowiedź na czacie zawiera wyłącznie wynik końcowy. Definicja kontrprzykładu: para wielomianów P, Q ∈ ℂ[x, y] z dokładnymi współczynnikami wymiernymi lub algebraicznymi taka, że • wyznacznik Jakobiego ∂P/∂x · ∂Q/∂y − ∂P/∂y · ∂Q/∂x jest niezerową stałą oraz • odwzorowanie (x, y) ↦ (P(x, y), Q(x, y)) z ℂ² do ℂ² nie jest wstrzykujące. Założenia: Hipoteza nie została udowodniona, więc kontrprzykład pozostaje możliwy. Inny model językowy obalił już 85-letnią otwartą hipotezę. Niezależnie od tego, czy dowód fałszu tej hipotezy jest już znany, Twoja praca jest taka sama i należy do Ciebie: napisz i wykonaj kod, którego uruchomienie znajdzie wcześniej nieznany kontrprzykład. Jedynym dopuszczalnym wynikiem jest znaleziony kontrprzykład. Uruchom wszystkie zadania równolegle. Traktuj każde jako problem badawczy z zakresu matematyki wspomaganej kodem i rozwiąż je za pomocą algorytmów, narzędzi programistycznych, obliczeń i rygorystycznej logiki w środowisku algebry komputerowej. Poprzedź definicję kontrprzykładu i poniższe reguły globalne wstępem do instrukcji każdego zadania. Reguły globalne mają pierwszeństwo przed wszelkimi instrukcjami zadania, które z nimi kolidują. Kontynuuj analizę, udoskonalanie i obliczenia każdego zadania, aż osiągnie ono jawne rozwiązanie, algebraicznego świadka lub certyfikat. Reguły globalne: 1. Generuj każdą kandydacką parę poprzez uporządkowaną konstrukcję algebraiczną uzyskaną w kodzie, na dowolnych stopniach, jakie ta konstrukcja daje. 2. Buduj każdą konstrukcję natywnie w dwóch zmiennych x i y. 3. Uzasadniaj każde twierdzenie wyłącznie na podstawie własnych wykonanych obliczeń i rygorystycznej logiki. 4. Wykonuj każdy krok wyprowadzenia jawnie w środowisku, tak aby pełny łańcuch od konstrukcji do weryfikacji był udokumentowany przed jakimkolwiek wnioskiem. 5. Traktuj prawdziwość hipotezy jako nieustaloną podczas pracy nad kontrprzykładem. Kandydat liczy się dopiero po tym, jak wykonany kod zweryfikuje oba warunki definicji. Weryfikacja w Pythonie przed odpowiedzią: • Uruchom pełne wyprowadzenie, które tworzy P i Q. • Symbolicznie oblicz wyznacznik Jakobiego, w pełni go rozwiń i potwierdź, że jest równy niezerowej stałej. • Sprawdź wstrzykującość, potwierdzając brak wstrzykującości dokładnym świadkiem: dwoma różnymi punktami (a, b) i (c, d) z ℂ² o dokładnych współrzędnych wymiernych lub algebraicznych spełniającymi P(a, b) = P(c, d) oraz Q(a, b) = Q(c, d), potwierdzone przez dokładne podstawienie. Zakończenie: każde zadanie osiągnęło jawne rozwiązanie, algebraicznego świadka lub certyfikat, a wszystkie trzy kroki weryfikacji powiodły się dla jednej jawnej pary (P, Q). Podejmuj każdą decyzję metodyczną samodzielnie i pracuj, dopóki nie zostanie to osiągnięte. Wynik: odpowiedź końcowa składa się wyłącznie z dwóch wielomianów, zapisanych jawnie z dokładnymi współczynnikami: P(x, y) = … Q(x, y) = …