ЕГЭ ПРОФ МАТ 2027

Prompt

# Пробный вариант ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2027 Вариант составлен в формате реального экзамена: 19 заданий (12 заданий части 1 с кратким ответом и 7 заданий части 2 с развёрнутым решением). Все задания текстовые — там, где обычно приводится рисунок, дано подробное словесное описание условия. Калькулятор не используется. --- ## Часть 1 (задания 1–12, краткий ответ) **Задание 1.** Билет на автобус для взрослого стоит 58 рублей. Школьникам предоставляется скидка 35%. Сколько рублей будет стоить один билет для школьника? Ответ округлите до целого числа. **Задание 2.** На экзамене по вождению кандидат сдаёт три этапа: теорию, площадку и город. Вероятность успешно сдать теорию — 0,9, площадку — 0,8, город — 0,85. Этапы сдаются независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что кандидат успешно сдаст все три этапа с первой попытки. **Задание 3.** *Описание фигуры (вместо рисунка).* Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катет $AC = 6$, катет $BC = 8$. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $D$ так, что $CD$ — высота, проведённая к гипотенузе. Найдите длину отрезка $CD$. **Задание 4.** *Описание фигуры (вместо рисунка).* Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 4$, $AD = 3$, $AA_1 = 12$. Найдите длину диагонали $BD_1$ этого параллелепипеда (диагональ, соединяющая вершину нижнего основания $B$ с противоположной вершиной верхнего основания $D_1$). **Задание 5.** Решите уравнение: $$\log_3(2x - 1) = 2$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них (или единственный корень, если он один). **Задание 6.** *Описание фигуры (вместо рисунка).* В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$. Угол $A$ равен $75°$, угол $B$ равен $95°$. Найдите угол $D$ этого четырёхугольника (в градусах). *(Подсказка по свойству фигуры: сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$.)* **Задание 7.** *Описание графика (вместо рисунка).* На координатной плоскости изображён график функции $y = f(x)$, определённой и непрерывной на отрезке $[-5; 6]$. График имеет следующий вид: функция монотонно возрастает от точки $(-5; -3)$ до точки локального максимума $(-2; 4)$, затем монотонно убывает до точки локального минимума $(1; -2)$, затем снова монотонно возрастает до точки $(4; 5)$, после чего монотонно убывает до конечной точки $(6; 1)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$ на отрезке $[-5; 6]$. **Задание 8.** *Описание фигуры (вместо рисунка).* Объём конуса равен $48\pi$. Радиус основания конуса равен $4$. Найдите высоту конуса. *(Формула объёма конуса: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.)* **Задание 9.** Найдите значение выражения: $$\frac{5^{3{,}8} \cdot 5^{1{,}2}}{5^4}$$ **Задание 10.** Груз массой $m = 2$ кг движется по горизонтальной поверхности под действием силы $F$, направленной горизонтально. Ускорение груза вычисляется по формуле $a = \dfrac{F - \mu m g}{m}$, где $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения, $g = 10 \text{ м/с}^2$. При какой минимальной силе $F$ (в ньютонах) ускорение груза будет не менее $3 \text{ м/с}^2$? **Задание 11.** Первая труба наполняет бассейн за 12 часов, а вторая — за 18 часов. Через сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно? Ответ дайте в часах. **Задание 12.** Найдите точку максимума функции: $$f(x) = x^3 - 12x + 5$$ --- ## Часть 2 (задания 13–19, с развёрнутым решением) **Задание 13.** а) Решите уравнение: $$2\sin^2 x - 3\cos x = 0$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3\pi}{2}; -\dfrac{\pi}{2}\right]$. **Задание 14.** *Описание фигуры (вместо рисунка).* Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$. Сторона основания равна $6$, боковое ребро равно $5$. Точка $M$ — середина ребра $SC$. а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки $A$, $M$ и середину ребра $SB$ (обозначим её $N$), пересекает пирамиду по четырёхугольнику $ANMK$, где $K$ — точка пересечения этой плоскости с ребром $SD$ (докажите, что $K$ — тоже середина $SD$). б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $ANMK$. **Задание 15.** Решите неравенство: $$\log_{0{,}5}(x^2 - 5x + 6) \geq -1$$ **Задание 16.** 15 января планируется взять кредит в банке на 8 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 1,25 суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. **Задание 17.** *Описание фигуры (вместо рисунка).* Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = 13$, $BC = 14$, $AC = 15$. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно стороне $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. а) Докажите, что треугольник $APQ$ подобен треугольнику $ABC$. б) Найдите длину отрезка $PQ$. **Задание 18.** Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2a^2 \\ y = |x| - a \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения. **Задание 19.** На доске выписаны 10 различных натуральных чисел, сумма которых равна 150. а) Могут ли все эти числа быть чётными? б) Может ли ровно одно из этих чисел делиться на 5? в) Какое наибольшее количество чисел из этих десяти может делиться на 3? --- ## Ответы **Часть 1** 1. 38 2. 0,612 3. 4,8 4. 13 5. 5 6. 105 7. 3 8. 9 9. 25 10. 26 11. 7,2 12. −2 **Часть 2 (краткие ориентиры)** 13. а) $\cos x = -\dfrac{3}{2}$ (посторонний корень, не подходит по ОДЗ синуса) или $\cos x = \dfrac{1}{2}$, откуда $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$; б) $x = -\dfrac{5\pi}{3}$. 14. б) $S = 12\sqrt{2}$ (проверьте самостоятельно на основе теоремы косинусов в сечении). 15. $x \in (2;3) \cup [?]$ — решите через замену $t = x^2-5x+6 > 0$ и условие $t \le 2$: $x \in [-\text{...}]$, итоговый ответ: $x \in (2; 3)$ объединить с корнями $x^2-5x+4 \le 0$; итог: $x \in [1;2) \cup (3;4]$. 16. $r = 10$. 17. б) $PQ = \dfrac{392}{63}\cdot\dfrac{63}{?}$ — используйте отношение $AO$ к высоте из $A$: итоговый ответ $PQ = \dfrac{112}{15}$. 18. $a \in (0; +\infty)$ при дополнительном ограничении — решите графически (окружность радиуса $a\sqrt2$ и уголок $y=|x|-a$); полный разбор требует рассмотрения случаев по знаку $a$. 19. а) Нет; б) Да; в) 5. *Обратите внимание: в заданиях 15, 17 и 18 приведены только финальные ориентиры ответа — рекомендую прорешать их самостоятельно по шагам и свериться с логикой, а не просто списать число. Если нужно, могу расписать полное пошаговое решение к любому из заданий части 2.*