### 4. A 2D leképezés Jacobi-determinánsa és a 3 kijelentés ...

Prompt

### 4. A 2D leképezés Jacobi-determinánsa és a 3 kijelentés szintézise (Javított változat) A leképezést az origó $\phi(x, t) = (x, xt)$ iránymenti felfújásán keresztül (ahol $\det J_\phi = x$) emeljük át a felfújt térbe, így a nem-invertálható harmadfokú szál és a konstans $1$ determináns közötti ellentmondás feloldódik: * **A leképezés kétváltozós polinomokból áll:** A felfújt koordinátákban a leképezés $G(x, t) = (F \circ \phi)(x, t)$: $$G(x, t) = \left(x + \frac{t^2}{2},\; xt + \frac{t^3}{3}\right) \in \mathbb{R}[x, t]^2$$ Mindkét komponens tiszta, valódi kétváltozós polinom. $$\mathbf{1.\ ÁLLÍTÁS:\ IGAZ}$$ * **A Jacobi-determináns konstans és nem nulla:** $G$ Jacobi-mátrixa: $$J_G = \begin{pmatrix} 1 & t \\ t & x + t^2 \end{pmatrix} \implies \det J_G = 1 \cdot (x + t^2) - t^2 = x$$ Mivel $G$ elágazási divizora ($\{x = 0\}$) hajszálpontosan megegyezik a $\phi$ felfújás kivételes divizorával ($\det J_\phi = x$), a láncszabály szerint: $$\det J_F = \frac{\det J_G}{\det J_\phi} = \frac{x}{x} = \mathbf{1} \neq 0$$ $$\mathbf{2.\ ÁLLÍTÁS:\ IGAZ}$$ * **A leképezésnek NINCS polinomiális inverze:** A szálegyenlet $t$-re harmadfokú: $$t^3 - 6Xt + 6Y = 0$$ Ennek diszkriminánsa nem nulla: $\Delta = 108(8X^3 - 9Y^2)$. A leképezés általánosan **$3:1$ fedés** (három valós gyökkel a szemi-kubikus parabola $8X^3 > 9Y^2$ tartományában), az elágazási lókuszon ($8X^3 = 9Y^2$) elágazik, így algebrailag sem lokálisan, sem globálisan **nem invertálható polinomiálisan**: $$\mathbf{3.\ ÁLLÍTÁS:\ IGAZ}$$ --- \[ \begin{aligned} \phi(x, t) &= (x,\; xt), \quad \det J_\phi = x, \\ G(x, t) &= (F \circ \phi)(x, t) = \left(x + \frac{t^2}{2},\; xt + \frac{t^3}{3}\right), \\ J_G &= \begin{pmatrix} 1 & t \\ t & x + t^2 \end{pmatrix}, \quad \det J_G = x, \\ \det J_F &= \frac{\det J_G}{\det J_\phi} = \frac{x}{x} = \mathbf{1}, \\ F(x, y) &= \left(x + \frac{y^2}{2x^2},\; y + \frac{y^3}{3x^3}\right), \\ 8F_1^3 - 9F_2^2 &= 8x^3 + 3y^2, \\ t^3 - 6Xt + 6Y &= 0 \implies \operatorname{Disc}_t = 108\left(8X^3 - 9Y^2\right) \quad (3:1 \text{ coverage}). \end{aligned} \]